VI Зимний турнир Архимеда

Гимназия-лицей №109

19.01.1997

Условия

1. Точки и отрезки. Нарисуйте 8 точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались, и из каждой точки исходило ровно 4 отрезка.

2. Два рыбака поймали 70 рыб, причем  улова первого рыбака составляли караси, а  улова второго окуни. Сколько рыб поймал каждый?

3. Числа на доске. На доске написано три числа: 19, 9 и 7. С этими числами разрешается делать две операции: 1) Удвоить любое из чисел; 2) От каждого из чисел отнять по 1. Можно ли проделав несколько таких операций получить три нуля?

4. Делимость на 116. Натуральные числа a и b таковы, что . Докажите, что  делится на 116.

5. За круглым столом сидят 8 человек, каждый из которых либо рыцарь, либо лжец рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут). Каждый их них говорит: «Мои соседи рыцарь и лжец». 1) Сколько среди них лжецов? 2) Сколько среди них лжецов, если за столом 9 человек?

6. Пещера Али-Бабы. Али-Баба нашел пещеру полную золота и алмазов. Полный мешок золота весит 200 кг, полный мешок алмазов 40 кг. Али-Баба может унести за один раз не более 100 кг. Килограмм золота стоит 20 динаров, килограмм алмазов 60 динаров. Сколько денег он может получить за золото или алмазы, унесенные в одном мешке (за один раз)?