XI
Турнир Архимеда
Заочный тур
2001/2002 уч. год
Условия
1. Чай с молоком. В стакане и чашке налиты
чай с молоком, причем, содержание молока в стакане составляет 20%, а в чашке –
50%. Половину содержимого стакана перелили в чашку и размешали. Затем половину
полученной смеси перелили обратно в стакан. Могло ли оказаться, что молока в
стакане стало столько же, сколько в чашке?
2. Длина эскалатора. Леня и Паша решили сосчитать
количество ступенек эскалатора, находящихся между входом и выходом из него. Для
этого они одновременно ступили на эскалатор, причем в то время, как Паша делал
2 шага, Леня делал 1 (ступеньки никто не перескакивал). Оказалось, что они
сделали 21 и 28 шагов соответственно. Какова длина эскалатора?
3. Делимость на 41. Число 
записано
при помощи n единиц. При каких n это число делится на 41?
4. Кто
где живет? Девять друзей живут в разных квартирах одного 55-квартирного
дома. Когда я пытался выяснить у них, кто где живет, то в ответ услышал
следующие заявления:
Андрей: Номер моей квартиры на 23
больше, чем у Бориса.
Борис: Номер моей квартиры на 16 меньше, чем у Виктора.
Виктор: Номер моей квартиры на 19
меньше, чем у Григория.
Григорий: Номер моей квартиры на 12 больше, чем у Дмитрия.
Дмитрий: Номер моей квартиры на 30 больше, чем у Евгения.
Евгений: Номер моей квартиры на 17 меньше, чем у Ивана.
Иван: Номер моей квартиры на 37
меньше, чем у Константина.
Константин:
Номер моей квартиры на 12 больше, чем у Леонида.
Леонид:
Номер моей квартиры на 10 больше, чем у Андрея.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¼
|
¼
|
¼
|
¼
|
¼
|
|
|
|
|
¼
|
7
|
8
|
9
|
¼
|
|
|
|
|
¼
|
6
|
1
|
2
|
¼
|
|
|
|
|
¼
|
5
|
4
|
3
|
¼
|
|
|
|
|
¼
|
¼
|
¼
|
¼
|
¼
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Впоследствии было установлено, что сведения, которые
дал один из друзей, ошибочны. Определите, кто где живет?
5. Числовая спираль. На клетчатой бумаге ставятся
натуральные числа по спирали, часть которой изображена на рис. 1. На каких
горизонтальной и вертикальной полосах стоит число 830, если считать, что 1
стоит на пересечении первой горизонтальной и первой вертикальной полос?
6. Архив календарей. Известно, что календари на
некоторые годы одинаковы (в них совпадают и числа и дни недели). Сколько различных
календарей нужно иметь в архиве, чтобы не покупать новых в течение всего XXI
века?
7. Как разрезать доску. На рисунке изображена шахматная доска с 4 шашками
на ней. Разрежьте ее на 4 равные части так, чтобы на каждой из этих частей было
ровно по одной шашке. Сколькими способами можно это сделать?
8. Просьба Снежной
Королевы. Однажды Снежная
Королева попросила Деда Мороза расставить в Ледяном дворце 7 елок так, чтобы
среди любых трех из них нашлось две на расстоянии 10 шагов друг от друга.
Выполнима ли просьба Снежной Королевы?
