X Турнир Архимеда

Заочный тур

2000/2001 уч. год

Условия

1. Легче, тяжелее или ...? Известно, что из 40 монет две фальшивые (одна из фальшивых монет весит несколько больше настоящей, другая – несколько меньше, все настоящие монеты весят одинаково). Можно ли за 4 взвешивания на чашечных весах без гирь, выяснить что больше: вес двух фальшивых монет или двух настоящих, или же эти веса равны?

2. Как выгоднее? В каком случае вкладчик получит больше денег: если банк начисляет доход в 12% раз в год или если он начисляет 1% раз в месяц?

3. Кони на доске. Какое наибольшее число шахматных коней можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

4. Каких чисел больше? У каждого из чисел от 1 до 199920002001 вычислили сумму цифр. У получившегося числа снова вычислили сумму цифр. И так далее до тех пока не получились однозначные числа. Каких чисел получилось больше 1 или 9?

5. Каркас из проволоки. Можно ли из 199 кусков проволоки, длины которых равны соответственно 1, 2, 3, ¼, 199 см, сделать а) каркас куба; б) каркас прямоугольного параллелепипеда?

6. Тринадцатая цифра. Перемножили все натуральные числа 1 до 50. Найдите тринадцатую цифру полученного произведения (справа!).

7. Автобусный маршрут. По шоссе между пунктами A и B курсирует с постоянной скоростью автобус. Известно следующее:

Пункты C, D и E расположены на шоссе между A и B;

Автобус останавливается только в A и B (на 3 мин);

В 9.08 автобус проехал мимо C по направлению в B;

В 11.28 автобус выехал из A;

В 13.16 автобус приехал в B;

В 14.04 автобус проехал мимо C по направлению в B;

Наблюдатель в D не видел ни одного автобуса в течение 54 мин;

Наблюдатель в E видел 2 автобуса в течение 20 мин;

Как расположены на шоссе пункты A, B, C, D и E?

8. Точки и окружности. На плоскости расположено 200 точек. Существует ли окружность, внутри которой расположено ровно а) 3; б) 100 точек?